Una IA refutó la conjetura de Erdős: cómo explicarlo a tu hijo

Una IA refutó la conjetura de Erdős, y acá va la historia en un párrafo, porque la cobertura la hizo sonar más difícil de lo que es. Paul Erdős preguntó algo simple en 1946: si pones varios puntos en una hoja, ¿cuántos pares pueden quedar exactamente a un centímetro de distancia? Por casi 80 años los matemáticos creyeron que lo mejor posible era acomodarlos más o menos como una cuadrícula. El 20 de mayo de 2026, un modelo interno de OpenAI demostró que esa creencia era falsa al encontrar una familia infinita de arreglos mejores.

La primera mitad de eso la puedes hacer con tu hijo en la mesa de la cocina en diez minutos. Y la segunda mitad enseña algo más valioso que el resultado: la diferencia entre demostrar que algo siempre es cierto y encontrar un solo ejemplo que lo rompa.

Puntos clave

• El problema de la distancia unitaria pregunta cuántos pares de puntos pueden estar exactamente a distancia 1 entre n puntos en un plano. Erdős lo planteó en 1946 y ofreció un premio en efectivo.
• Erdős conjeturó que la respuesta crecía apenas más rápido que n. La IA encontró arreglos con al menos n^(1+δ) pares a distancia unitaria, con δ > 0 fijo.
• Will Sawin, de Princeton, refinó después el resultado y mostró que δ puede tomarse como 0,014.
• La demostración salió de un modelo de razonamiento general, no de un sistema entrenado para matemáticas, y OpenAI dice que produjo soluciones correctas en cerca de la mitad de las corridas repetidas con el mismo pedido.
• La técnica vino de un campo totalmente distinto, la teoría algebraica de números, con torres infinitas de cuerpos de clases y teoría de Golod–Shafarevich.

Qué pregunta el problema: la IA refutó la conjetura de Erdős de 1946

El problema de la distancia unitaria es una pregunta de conteo. Pon n puntos donde quieras en una hoja. Traza una línea entre cada par de puntos que estén exactamente a distancia 1. ¿Cuántas líneas puedes lograr, como máximo?

Llamemos a ese máximo u(n). Algunos arreglos son fáciles de analizar. Si pones los n puntos en línea recta separados por una unidad, obtienes n−1 pares. Una cuadrícula con espaciado 1 da alrededor de 2n pares. El anuncio de OpenAI señala que la mejor construcción conocida hasta entonces, una cuadrícula reescalada, da algo más: cerca de n^(1 + C/log log n) para cierta constante C.

Ese exponente importa. Como log log n crece al infinito, el pedacito extra del exponente se encoge hacia cero cuando n se hace grande. O sea que las mejores construcciones conocidas crecían solo apenas más rápido que n. Erdős conjeturó que ese era el techo: una cota superior de n^(1+o(1)), donde el o(1) tiende a 0.

El libro Research Problems in Discrete Geometry (Brass, Moser y Pach, 2005) lo llama “posiblemente el problema más conocido, y el más simple de explicar, de la geometría combinatoria”. Noga Alon, de Princeton, lo describió como “uno de los problemas favoritos de Erdős”.

El resultado de la IA: para infinitos valores de n existen configuraciones con al menos n^(1+δ) pares a distancia unitaria, con δ mayor que cero fijo. Eso mata la conjetura. La demostración original no daba un δ explícito; un refinamiento posterior de Will Sawin mostró que se puede tomar δ = 0,014.

Conjetura, demostración, contraejemplo: la distinción que importa

Este es el concepto que vale enseñar, y muchos adultos también lo tienen borroso.

Término	Qué significa	Ejemplo en distancia unitaria	Qué tan difícil de establecer
Conjetura	Una afirmación que se cree cierta pero no está demostrada	”No puedes pasar de aproximadamente n pares” (Erdős, 1946)	Gratis de enunciar; necesita evidencia para tomarse en serio
Demostración	Un argumento que muestra que algo es cierto en todos los casos	La cota superior O(n^(4/3)) de Spencer, Szemerédi y Trotter, de 1984	Difícil; debe cubrir infinitos casos
Contraejemplo	Un solo caso donde la afirmación falla	La familia infinita de mejores configuraciones de la IA	A veces más fácil que demostrar; uno alcanza
Refutación	Mostrar que una afirmación es falsa, normalmente con un contraejemplo	Lo que pasó el 20 de mayo de 2026	Basta con una ruptura válida

La asimetría es la lección. Para darle la razón a Erdős habría que descartar todos los arreglos posibles de todas las cantidades de puntos, para siempre. Para quitársela bastaba una familia de arreglos que supere la cota. Thomas Bloom, de la Universidad de Mánchester, que mantiene la base de datos erdosproblems.com, le dijo exactamente eso a Science News: demostrar la conjetura en vez de refutarla habría sido “realmente increíble” y habría requerido otro tipo de intuición creativa.

Los matemáticos sí tenían evidencia a favor de la conjetura. Matoušek, y por separado Alon, Bucić y Sauermann, estudiaron el problema con distancias no euclidianas y mostraron que “la mayoría” de esas distancias cumplen la conjetura en algún sentido. La evidencia apuntaba a un lado. La respuesta estaba del otro.

Cómo enseñarle esto a tu hijo

Las tres actividades solo necesitan papel, lápiz y algo para medir.

De 5 a 8 años: el juego del centímetro

Dibuja cuatro puntos en una hoja, donde sea. Dale a tu hijo una regla y que encuentre todos los pares que estén exactamente a un centímetro, trazando una línea por cada uno. Cuenten las líneas. Después mueve los cuatro puntos e intenten conseguir más líneas.

La mejor respuesta con cuatro puntos es más alta de lo que casi cualquier chico espera, y la búsqueda es el punto. Cuando encuentre un arreglo mejor que su primer intento, di la frase en voz alta: “Acabas de encontrar un mejor ejemplo. Eso es exactamente lo que hizo la computadora”.

De 9 a 12 años: hacer una conjetura y romperla

Que haga el juego del centímetro con 3, 4, 5 y 6 puntos, anotando el mejor conteo que logre cada vez. Después pídele que prediga la respuesta para 7 puntos antes de dibujar nada. Esa predicción es una conjetura.

Ahora intenten superarla. Si lo logra, produjo un contraejemplo a su propia conjetura, que es exactamente cómo funciona esto en matemáticas. Si no lo logra, eso no es una demostración, y decirlo es la lección: “No encontraste uno mejor. Eso no significa que no exista”.

De 13 en adelante: el supuesto de la cuadrícula

Muéstrale por qué la cuadrícula parece óptima: en una cuadrícula de lado 1, casi todos los puntos tienen cuatro vecinos a distancia exactamente 1, así que salen unos 2n pares de n puntos. Después hazle la pregunta difícil: ¿por qué alguien supondría que ese es el máximo posible?

La respuesta honesta es que nadie lo demostró, simplemente nadie pudo superarlo en 80 años. Después explícale qué hizo distinto el modelo. En vez de geometría, usó teoría algebraica de números. La construcción original de Erdős se entiende con los enteros gaussianos, números de la forma a + bi. La demostración de la IA los cambió por cuerpos de números más complicados, con simetrías más ricas, que producen muchas más diferencias de longitud unitaria. Arul Shankar, teórico de números que comentó el resultado, notó que en el rastro de razonamiento del modelo “una mayoría significativa de los pensamientos intenta construir un contraejemplo a la cota superior ampliamente creída, en vez de intentar demostrarla”.

La pregunta que debes hacer: “Si no encuentras un ejemplo mejor, ¿eso demuestra que no existe?”

Qué es genuinamente nuevo y qué se está exagerando

La versión honesta tiene las dos partes.

Genuinamente nuevo: OpenAI afirma que esto “marca la primera vez que un problema abierto prominente, central para una subárea de las matemáticas, ha sido resuelto de forma autónoma por una IA”. La demostración fue revisada por matemáticos externos, que además escribieron un artículo acompañante. El medallista Fields Tim Gowers escribió ahí: “si un humano hubiera escrito el artículo y lo hubiera enviado a Annals of Mathematics, y me hubieran pedido una opinión rápida, habría recomendado la aceptación sin ninguna vacilación. Ninguna demostración generada por IA se había acercado a eso”. Jacob Tsimerman, que él mismo había intentado construir un contraejemplo y no había avanzado, lo llamó “un trabajo realmente impresionante”.

Con reservas legítimas: Melanie Matchett Wood, de Harvard, lo llamó “una pieza hermosa de matemáticas que se ha descubierto” y a la vez cuestionó si representa un avance de la IA en particular, notando que modelos públicos podrían replicarlo, y planteó una objeción razonable de transparencia: OpenAI no publicó sus intentos fallidos ni sus soluciones incorrectas. Sébastien Bubeck, de OpenAI, dijo que el modelo produjo soluciones correctas en cerca del 50% de las corridas con el mismo pedido, y Science News notó que los datos que respaldan esas afirmaciones “no se han publicado ni revisado por pares” y que no se reveló el tiempo de cómputo. En junio de 2026, más de 1.500 expertos firmaron la Declaración de Leiden pidiendo límites claros para las afirmaciones matemáticas hechas por IA.

Y hay un precedente para tener a mano, documentado por TechCrunch. Siete meses antes de este resultado, un ejecutivo de OpenAI afirmó que GPT-5 había resuelto diez problemas de Erdős previamente abiertos. No era así: las soluciones ya existían en la literatura publicada, y el mensaje se borró tras las críticas de Yann LeCun y Demis Hassabis. Terence Tao planteó un argumento relacionado sobre demostración asistida por máquina en las Notices of the AMS en enero de 2025.

¿Y en América Latina?

Esto conecta con algo muy concreto de la región. En PISA 2025, la lectura cayó en casi todos los países latinoamericanos y el 43,9% de los estudiantes colombianos, el 46,6% de los peruanos y el 48,8% de los argentinos quedó con bajo desempeño en las tres áreas evaluadas. Al mismo tiempo, Colombia lidera el uso semanal de IA con 56% y Perú va con 54%, según los datos que reportó Pulzo.

Esa combinación, mucho uso de IA y base matemática débil, es justo el contexto donde un titular como “la IA resolvió un problema de 80 años” hace más daño. El mensaje que le llega a un chico es “no vale la pena aprender matemáticas”. Y lo que el caso Erdős muestra es lo contrario: hizo falta un humano (Sawin) para refinar el resultado, matemáticos humanos para verificarlo, y una comunidad humana para decidir que ese problema importaba en primer lugar.

Hay una tradición matemática fuerte en la región donde apoyarse para contar esta historia: la Olimpiada de Mayo, la Olimpiada Iberoamericana de Matemática, la Olimpiada Rioplatense. Son competencias donde un chico de Bogotá, Lima o Buenos Aires hace exactamente lo que hizo el modelo: buscar un contraejemplo cuando todos intentan demostrar.

Qué hacer en casa

Usa la palabra “conjetura” en voz alta

Los chicos hacen conjeturas todo el tiempo (“el vaso alto siempre tiene más”). Ponerle nombre a la categoría enseña el concepto mejor que cualquier explicación. Y después, a probarla.

Déjalo equivocarse sin corregirlo

El momento más útil es cuando una predicción confiada se rompe con un solo ejemplo. No lo suavices. Esa experiencia es el método científico en miniatura.

Separa “no encontré uno” de “no existe uno”

Es la idea más transferible de todo este artículo y sirve mucho más allá de las matemáticas. Practiquen la distinción cada vez que aparezca.

Muestra que las ideas viajan entre áreas

Lo que sorprendió de esta demostración es que las herramientas vinieron de la teoría de números, no de la geometría. Bloom escribió que el resultado “muestra que las construcciones de teoría de números tienen mucho más que decir sobre este tipo de preguntas de lo que sospechábamos”. Si a tu hijo le gustan dos materias sin relación aparente, eso es un activo. Lo desarrollamos en cómo una IA tomó prestada la teoría de números para resolver geometría.

Lo que no conviene hacer

No le digas a tu hijo que la IA ya resolvió las matemáticas. Cayó un problema de cientos de problemas abiertos de Erdős, con cerca del 50% de éxito por corrida, y hicieron falta matemáticos humanos para verificarlo y contextualizarlo.

Qué observar en los próximos 3 meses

• Semana 4: tu hijo usa “eso es una conjetura” o “acá va un contraejemplo” sin que se lo pidas, sobre algo que no tiene nada que ver con matemáticas.
• Señales de alerta en el mes 2: “¿para qué aprender matemáticas si la IA las hace?”. Si lo escuchas, la respuesta es que un humano refinó el resultado (el δ = 0,014 de Sawin) y humanos decidieron que el problema importaba.
• Autoevaluación del mes 3: revisa si cayeron más problemas de Erdős. La base de datos de Bloom sigue el estado de cerca de mil problemas, y el ritmo es lo que hay que mirar. El contexto está en por qué los problemas de Erdős están cayendo ante la IA.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el problema de la distancia unitaria, en simple?

Pon n puntos en una hoja y cuenta cuántos pares quedan exactamente a distancia 1. La pregunta es cuál es el máximo posible cuando n crece. Erdős lo planteó en 1946, ofreció un premio, y suele llamarse el problema más simple de explicar de la geometría combinatoria.

¿La IA demostró o refutó la conjetura?

La refutó. Erdős conjeturaba una cota superior de n^(1+o(1)). El modelo construyó una familia infinita de configuraciones que alcanza al menos n^(1+δ) pares a distancia unitaria con δ > 0 fijo, lo que rompe esa cota. Un contraejemplo solo necesita funcionar una vez.

¿Matemáticos humanos revisaron la demostración?

Sí. OpenAI dice que la demostración “fue revisada por un grupo de matemáticos externos”, que además escribieron un artículo acompañante explicando el argumento. Noga Alon, Tim Gowers, Arul Shankar y Jacob Tsimerman comentaron públicamente el resultado.

¿Por qué importa esa tasa de éxito del 50%?

Porque dice que el modelo no es confiablemente correcto. Sébastien Bubeck, de OpenAI, señaló que las soluciones correctas aparecieron en cerca de la mitad de las corridas con el mismo pedido. Eso significa que alguien competente tuvo que revisar la salida, y por eso la formación matemática sigue importando.

¿Mi hijo puede intentar este problema de verdad?

La versión de conteo, sí, con una regla y unos cuantos puntos. El problema completo sigue abierto: la mejor cota superior, O(n^(4/3)), es de Spencer, Szemerédi y Trotter en 1984 y no se ha mejorado sustancialmente. Nadie conoce la respuesta verdadera.

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Sobre el autor

Ricky Flores es el fundador de HiWave Makers e ingeniero eléctrico con más de 15 años de experiencia desarrollando tecnología de consumo en Apple, Samsung y Texas Instruments. Escribe sobre cómo los niños aprenden a construir, pensar y crear en un mundo saturado de tecnología. Lee más en hiwavemakers.com.

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Fuentes

1. OpenAI. (2026, 20 de mayo). “An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry.” https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
2. Hulick, K. (2026, 8 de junio). “AI guardrails and the Erdős math problem.” Science News. https://www.sciencenews.org/article/ai-guardrails-erdos-math-problem
3. Kakaes, K. (2026, 3 de agosto). “Why the legendary Erdős problems are falling to AI.” Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/why-the-legendary-erdos-problems-are-falling-to-ai-20260803/
4. Bellan, R. (2026, 20 de mayo). “OpenAI claims it solved an 80-year-old math problem, for real this time.” TechCrunch. https://techcrunch.com/2026/05/20/openai-claims-it-solved-an-80-year-old-math-problem-for-real-this-time/
5. Bloom, T. “Erdős Problems.” University of Manchester. https://www.erdosproblems.com/
6. Tao, T. (2025, enero). “Machine-Assisted Proof.” Notices of the American Mathematical Society, 72(1), 6–13. https://www.ams.org/notices/202501/rnoti-p6.pdf
7. Pulzo. (2026, 8 de septiembre). “Estudiantes en Colombia lideran uso de IA, según la OCDE.” https://www.pulzo.com/tecnologia/inteligencia-artificial-en-la-educacion-estudiantes-en-colombia-lideran-uso-de-ia-segun-la-ocde-PP5296043A