Experimento de relación de engranajes con cartón

El truco que hace que esto funcione casi nadie lo nota. Quítale la capa de papel de arriba a una tira de cartón corrugado y quedan a la vista las ondas de abajo, parejitas, separadas unos 8 mm. Pega esa tira alrededor de un disco de cartón con las ondas hacia afuera y tienes un engranaje con dientes de verdad que embonan con otro igual. Sin plantillas ni impresora 3D. Así, este experimento de relación de engranajes se vuelve una cuenta que se puede verificar contando: un engranaje de 40 dientes moviendo a uno de 20 lo hace girar exactamente dos veces por vuelta, siempre, y tu hijo puede contar las dos cosas.

Puntos clave

• Haces tres engranajes de cartón con dientes contables, mides la relación contando vueltas y después armas un tren compuesto que multiplica dos relaciones.
• El concepto es la relación de transmisión: vueltas de salida entre vueltas de entrada es igual a dientes de entrada entre dientes de salida, y lo que ganas en velocidad lo pierdes en fuerza de giro.
• Números a medir: conteo de dientes, diez vueltas de entrada contra las vueltas de salida contadas, y la fuerza que hay que aplicar en una palanca para sostener un peso.
• Ideal de 8 a 14 años. Un adulto hace los cortes, y abajo hay una versión sin cúter.
• El problema típico es el embone: muy separados saltan dientes, muy juntos se trancan. La habilidad está en la separación.

Lo que vas a necesitar para el experimento de relación de engranajes

Material	Cuánto	Dónde se consigue	Si no lo tienes
Caja de cartón corrugado de una onda	1 mediana	Reciclaje, mercado	Cualquier caja de paquetería; evita las de doble onda
Cartón grueso para los discos	3 piezas	Reciclaje	La base de una caja de pizza
Pegamento blanco	Un frasco	Papelería	Pistola de silicón de baja temperatura, con adulto
Palitos de brocheta o tachuelas	4	Mercado	Lápices con punta, clavados en la base
Popotes	4	Cocina	Tubitos de papel enrollado
Base de cartón de 30 × 40 cm	1	Reciclaje	Una tabla de picar con tachuelas
Regla, compás o tres objetos redondos	1 juego	Papelería	Tazas, tapas de frasco, un rollo de cinta
Cinta adhesiva de papel	Un rollo	Papelería	Cualquier cinta
Hilo y un peso de 50 g	1 de cada	Costurero	Una bolsita de monedas pesada
Cúter (solo adultos)	1	Ferretería	Tijeras fuertes y cartón delgado

Tiempo: preparación 35 min, experimento 30 min, limpieza 10 min Costo: gratis si tienes una caja de cartón Nivel de desorden: medio, polvo de cartón y pegamento

Haz el experimento

Paso 1 — Mide el paso de los dientes de tu cartón

Mira el canto cortado de la caja: ahí se ven las ondas. Cuenta cuántas ondas caben en 10 cm y divide 100 mm entre ese número para sacar el paso en milímetros. Casi todas las cajas de una onda caen entre 6 y 8 mm. Ese número es el paso de todos tus engranajes, así que anótalo.

Paso 2 — Calcula los diámetros de los discos

Dientes es circunferencia entre paso. Con paso de 7.9 mm, un disco de 10 cm da unos 40 dientes y uno de 5 cm unos 20, o sea relación 2 a 1. Elige tres diámetros que den números redondos, corta los discos y anota en cada uno su conteo de dientes predicho.

Paso 3 — Hazle los dientes

Corta una tira de cartón un poco más larga que la circunferencia de cada disco y de 2 cm de ancho. Quítale una capa de papel para dejar las ondas al aire, empezando en un canto cortado y despacio. Pega la tira alrededor del borde con las ondas hacia afuera, junta las puntas sin traslape y sujeta con cinta. Después cuenta los dientes de verdad y compara con tu predicción.

Paso 4 — Monta dos engranajes para que embonen

Atraviesa cada engranaje por su centro exacto con un palito, mete un popote de 2 cm como rodamiento y clávalos en la base de modo que los dientes se metan como medio diente. Gíralos: un buen embone se siente con resistencia ligera y regular. Si salta o rechina, mueve una tachuela un milímetro y vuelve a probar.

Paso 5 — Cuenta la relación

Marca un punto cerca del borde de cada engranaje. Gira el grande diez vueltas completas, despacio, contando en voz alta las vueltas del chico. Cuarenta dientes moviendo veinte deben dar veinte vueltas de salida. Repite con el chico moviendo al grande, que da el recíproco.

Paso 6 — Siente y mide el intercambio de fuerza

Pégale una palanca de popote de 10 cm al engranaje chico y enrolla el hilo con el peso de 50 g en el eje del grande. Intenta levantar el peso empujando la palanca del chico, y luego pásala al grande e inténtalo otra vez. Después mete un engranaje intermedio entre los dos y vuelve a contar la relación.

Lo que deberías ver: Los conteos de dientes salen con uno o dos de diferencia respecto al cálculo, y el error casi siempre está donde se juntan las puntas de la tira. La relación de vueltas es exacta y repetible, que es justo la ventaja de los engranajes sobre las bandas. La diferencia de fuerza es inconfundible en los dedos: moviendo desde el engranaje chico, el peso se siente como el doble y sube a la mitad de velocidad. El engranaje intermedio no cambia nada de la relación e invierte el sentido de giro, lo que sorprende a casi todos.

Qué mide este experimento de relación de engranajes

Arreglo	Dientes	Vueltas de salida por 10 de entrada	Fuerza en la salida
Grande mueve chico	40 → 20	20	La mitad
Chico mueve grande	20 → 40	5	El doble
Grande, intermedio, chico	40 → 30 → 20	20, sentido invertido	La mitad
Compuesto: 40→20 y otra vez 40→20	40/20 × 40/20	40	Un cuarto

La última fila es la que vale armar. Dos etapas de 2 a 1 dan 4 a 1, no cuatro dientes de diferencia. Las relaciones se multiplican, y así un taladro de mano convierte una muñeca lenta en una broca rápida.

Qué está pasando en realidad

Un diente de engranaje hace una sola cosa: empuja al diente que está tocando. Como los dientes están parejos y no pueden resbalar, contar dientes es lo mismo que contar empujones. Si un engranaje de 40 dientes da una vuelta completa, entregó 40 empujones a su vecino. A un vecino de 20 dientes se le acaban los dientes a los 20, así que tiene que dar dos vueltas completas. Esa es toda la deducción de la relación de transmisión, y no necesita álgebra.

Lo que no puede cambiar es la energía. La fuerza de giro, que se llama torque, multiplicada por el ángulo girado da el trabajo hecho. Si la salida gira el doble de rápido que la entrada, cada vuelta de salida solo puede llevar la mitad del torque, porque el trabajo que entra tiene que igualar al que sale menos la fricción. Por eso ninguna caja de engranajes es gratis, y por eso la pregunta “¿esto lo hace más fuerte o más rápido?” siempre se responde con “una de las dos, a cambio de la otra”.

Eso explica también el tren compuesto. Pon un engranaje grande y uno chico en el mismo eje y quedan amarrados, así que la primera etapa le entrega su velocidad a la segunda, que vuelve a multiplicar. Dos etapas de 2 a 1 dan 4 a 1, tres dan 8 a 1. Los trenes de relojería apilan relaciones así para convertir una rotación en horas, minutos y segundos a partir de un solo escape.

El ejemplo histórico más espectacular es también el más viejo. El análisis de Freeth y colegas en Nature (2006) descifró el Mecanismo de Anticitera, un aparato griego de bronce con más de treinta engranajes entrelazados construido para calcular ciclos astronómicos. Sus diseñadores eligieron los conteos de dientes para que las relaciones entre ellos coincidieran con las relaciones reales entre períodos astronómicos, el mismo truco de elegir 40 y 20 para obtener dos vueltas exactas. La biblioteca KMODDL de Cornell guarda modelos históricos en esa tradición, y los trenes de engranajes son contenido estándar en cursos de diseño mecánico como el de sistemas robóticos electromecánicos del MIT.

Algo que conviene admitir: los dientes reales no son bultos simples. Usan perfil de evolvente, una curva que mantiene el punto de contacto moviéndose suave para que la velocidad de salida sea constante dentro de cada diente. Tus ondas de cartón son casi triangulares, así que van a correr un poco desparejas. La relación sigue siendo exacta promediada en una vuelta, y esa diferencia entre promedio exacto y suavidad instantánea es por lo que las máquinas de precisión necesitan geometría de diente de verdad.

Cómo explicárselo a tu hijo

De 5 a 8 años

Pega una calcomanía en cada engranaje y pídele que gire el grande una vuelta mirando el chico. Dos vueltas. Otra vez. Dos vueltas otra vez. Después pídele que prediga qué pasa con tres vueltas del grande antes de probarlo. Un niño de seis años que predice seis y obtiene seis ya usó una razón.

De 9 a 12 años

Escribe la regla como fracción: dientes del que mueve entre dientes del que es movido, igual a vueltas del segundo por cada vuelta del primero. Después haz la prueba de la palanca con el peso y conéctala. Pregúntale qué cambio quiere un ciclista en la subida, y por qué sus piernas giran rápido mientras la bici avanza lento.

De 13 en adelante

Ponle un reto de diseño con número adentro: armar un tren que haga girar la salida 12 veces más lento, usando solo los engranajes que hay. Va a tener que factorizar 12 en relaciones disponibles, quizá 2 × 2 × 3, y darse cuenta de que necesita un tren compuesto porque un solo par no llega. Eso es diseño de ingeniería de verdad, y la aritmética es el diseño.

La pregunta que debes hacer: “Necesitas una salida que gire 9 veces más lento que la entrada, y el engranaje más grande que puedes hacer tiene 45 dientes y el más chico 15. ¿Se puede con un solo par? ¿Cuál es tu plan?”

Por qué enseñar esto temprano vale la pena

Las razones y proporciones son de las ideas más difíciles de secundaria, y casi siempre se enseñan sin nada que agarrar. Aquí una razón son dos conteos de dientes y se verifica contando vueltas, y eso se conserva mejor que un ejercicio de hoja.

El intercambio de torque llega más lejos todavía. Es la estructura de cualquier compromiso de ingeniería: no se puede tener más de todo, así que decides en qué gastas. Un niño que puede decir que una caja de engranajes cambia velocidad por fuerza ya tiene plantilla para entender transmisiones de carro, cajas de turbinas eólicas y por qué un taladro tiene marcha lenta.

Una nota de método: tu primer par de engranajes de cartón probablemente va a saltar. El trabajo de Kapur (2008) sobre fracaso productivo encontró que los estudiantes que batallaban con un problema antes de recibir la instrucción muchas veces superaban a los que recibían el método primero, aunque el efecto depende de un buen cierre explicativo después. Esa es la estructura que conviene copiar: deja que el embone falle, explica por qué importa la separación, y rearmen. El marco del National Research Council lista “diseñar soluciones” como práctica central, y ajustar un embone milímetro a milímetro es esa práctica en miniatura.

¿Y en América Latina?

El cartón corrugado es el material más abundante de la región: cualquier caja del mercado o de paquetería sirve, y las de plátano son perfectas porque traen onda gruesa y pareja. La pistola de silicón se vende en cualquier papelería, pero si hay niños chicos usa pegamento blanco y cinta, que tarda más y no quema. El cúter se llama exacto o trincheta según el país, y lo usa el adulto.

El gancho cultural aquí es el ciclismo. En Colombia, con Nairo Quintana y Egan Bernal, cualquier niño ha oído hablar de “poner el plato chico” en una subida, y eso es exactamente una relación de transmisión: pedalear rápido con poca fuerza para subir despacio. Para la escuela conecta con máquinas simples y razones en los contenidos de la SEP, con el pensamiento matemático que evalúa el ICFES, con los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios en Argentina y con las unidades de fuerza de Mineduc en Chile. Para feria de ciencias, lleva la tabla de dientes contra vueltas contadas: una relación verificada con conteo propio convence más que una maqueta grande.

Antes de empezar: lo que los papás deben saber

Mejor edad	8 a 14. Antes de los 8, el adulto arma los engranajes y el niño cuenta y gira
Supervisión	Directa con el cúter y con la pistola de silicón. El adulto hace todos los cortes, sobre una tabla y con la hoja alejada del cuerpo
Riesgos reales	El cúter corta profundo y la hoja se desvía en cortes curvos, por eso el adulto corta los discos. La pistola de silicón trabaja entre 120 y 190 °C y ampolla la piel al contacto: usa una de baja temperatura o pegamento blanco. Tápale la punta a tachuelas y palitos con un corcho o cinta
No hagas esto	No cambies el cúter por un cuchillo de cocina ni por un serrucho de pan: ninguno se controla bien en cartón. No dejes que un menor de 12 años use el cúter, ni supervisado

Cuando no funciona

• Los dientes saltan con carga. Los centros están muy separados: la distancia entre ellos debe ser medio diámetro de uno más medio del otro. Mueve una tachuela de milímetro en milímetro.
• Los engranajes se trancan. Están muy juntos y los dientes topan. Sepáralos un milímetro y revisa que ninguno quedó ovalado, lo que pasa si estiras la tira al pegarla.
• La tira no se pela. Empieza en un canto cortado y levanta despacio a lo largo de la onda. Una nebulizada de agua ayuda, pero déjala secar antes de pegar o el disco se pandea.
• El conteo de dientes no cuadra. Casi siempre es la unión, donde las puntas se traslapan o dejan hueco. Recorta para que se junten exactas y cuenta antes de confiar en la relación.

Para llevarlo más lejos

1. Arma para una relación objetivo. Pon 12 a 1 y que tu hijo lo factorice en etapas con los engranajes que hay. Lograr una relación exacta con piezas limitadas es el trabajo real del diseño de transmisiones.
2. Mide el torque de verdad. Cuelga pesos de una palanca a radio conocido en cada eje y busca el equilibrio. La razón de los pesos debe coincidir con el inverso de la razón de velocidades: prueba cuantitativa del argumento energético.
3. La versión sin cúter. Clava dos tapas de botella en tachuelas y pásale una liga como banda. La relación es la razón de diámetros, pero las bandas patinan con carga, así que el conteo de vueltas se corre. Comparar una banda que patina con engranajes exactos explica por qué los carros usan engranajes. Después usa un engranaje para mover una leva en levas y autómatas.

Qué observar en los próximos 3 meses

• Semana 4: Que note engranajes en la calle y que los cuente: batidoras de mano, coronas de bici, carátulas de reloj.
• Mes 2: Que use el lenguaje del intercambio solo: “si va más rápido tiene que empujar menos fuerte”, en un contexto que tú no armaste.
• Mes 3: Que diseñe hacia un número en vez de armar y cruzar los dedos. Si especifica una relación objetivo antes de construir, el hábito se quedó. Las máquinas simples de la casa y las palancas cotidianas muestran el mismo intercambio.

Preguntas frecuentes

¿De verdad el engranaje intermedio no cambia la relación?

Correcto, y vale contarlo para convencer a quien dude. El intermedio entrega exactamente tantos empujones como recibe, así que solo importan los dientes de entrada y de salida.

¿Qué tan exactos son los engranajes de cartón?

La relación es exacta en una vuelta completa, porque los conteos de dientes son números enteros. Dentro de un solo diente el movimiento va un poco desparejo, porque las ondas son triangulares y no curvas de evolvente. Para contar vueltas y comparar torque, que es lo que mide este experimento, el cartón alcanza perfecto.

¿Se puede hacer sin cúter?

Sí. Usa cartón más delgado cortado con tijeras fuertes para los discos y guarda el corrugado solo para los dientes, que se corta con tijeras a lo largo de la onda. O haz la versión de tapas con liga, que no necesita ningún corte pero da patinaje en lugar de relaciones exactas.

¿Por qué giran fácil con la mano y se detienen con el peso?

Se juntan dos cosas: los dientes de cartón se flexionan con carga y se salen del embone, y un palito girando dentro de un popote tiene bastante fricción. Pégale un segundo disco a cada engranaje y deja los popotes cortos.

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Sobre el autor

Ricky Flores es el fundador de HiWave Makers e ingeniero eléctrico con más de 15 años de experiencia desarrollando tecnología de consumo en Apple, Samsung y Texas Instruments. Escribe sobre cómo los niños aprenden a construir, pensar y crear en un mundo saturado de tecnología. Lee más en hiwavemakers.com.

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Fuentes

1. Freeth, T., Bitsakis, Y., Moussas, X., Seiradakis, J. H., Tselikas, A., Mangou, H., Zafeiropoulou, M., et al. (2006). “Decoding the ancient Greek astronomical calculator known as the Antikythera Mechanism.” Nature, 444, 587–591. https://doi.org/10.1038/nature05357
2. Cornell University Library. KMODDL: Kinematic Models for Design Digital Library. https://kmoddl.library.cornell.edu/
3. Techet, A., & Hover, F. (2009). Design of Electromechanical Robotic Systems (2.017J). MIT OpenCourseWare. https://ocw.mit.edu/courses/2-017j-design-of-electromechanical-robotic-systems-fall-2009/
4. Kapur, M. (2008). “Productive Failure.” Cognition and Instruction, 26(3), 379–424. https://doi.org/10.1080/07370000802212669
5. National Research Council. (2012). A Framework for K-12 Science Education. National Academies Press. https://doi.org/10.17226/13165
6. White, R., & Gunstone, R. (1992). Probing Understanding. Falmer Press.