Fibonacci en la naturaleza: experimento con conos de pino

Casi todo lo que se escribe sobre los números de Fibonacci en las plantas está un poco mal, y se corrige con seis conos de pino y dos marcadores. La versión popular dice que la naturaleza sigue la sucesión. Un experimento de Fibonacci en la naturaleza hecho en serio dice algo mejor: los números aparecen la mayoría de las veces, salen de una regla local sobre dónde cabe el siguiente brote, y las excepciones son lo interesante. Tu hijo va a marcar espirales, contar 8 para un lado y 13 para el otro, y después encontrar un cono que da 9 y 14 y tener que decidir qué hace con eso.

Puntos clave

• Marcas las familias de espirales en seis conos de pino con marcadores, cuentas en los dos sentidos y armas una tabla.
• Enseña la sucesión de Fibonacci y, más importante, que un patrón de la naturaleza puede ser común sin ser una ley.
• Funciona desde los 7. La matemática es fácil; lo difícil de verdad es no perder el lugar al seguir una espiral alrededor de un cono.
• Espera pares como 5 y 8, 8 y 13, o 13 y 21. Espera también al menos un cono que no coopere.
• Sirven los conos abiertos y secos. Un cono verde cerrado no tiene familias de espirales visibles y te hace perder veinte minutos.

Lo que vas a necesitar

Material	Cuánto	Dónde conseguirlo	Si no lo tienes
Conos de pino abiertos y secos	6, de tamaños distintos	Debajo de cualquier pino, o una tienda de manualidades	Una piña, un girasol o una alcachofa
Marcadores permanentes de punta fina	2 colores, rojo y azul	Papelería	Calcomanías redondas de color, más fáciles para manos chicas
Hojas y lápiz	2	Donde sea	La app de notas del celular
Bandeja o periódico	1	Cocina	Trabajen afuera
Palillo de dientes	1 por persona	Cajón de la cocina	La punta de un lápiz, con cuidado
Lupa	Opcional	Caja de juguetes	El zoom de la cámara del celular funciona bien

Tiempo: recolección 20 min (o háganlo en una caminata el día antes), marcar y contar 35 min, limpieza 5 min Costo: gratis, salvo que compres la piña Nivel de desorden: bajo, pero la resina queda en los dedos y no sale con agua

Haz el experimento de Fibonacci en la naturaleza

Paso 1 – Seca los conos un día

Un cono cerrado no tiene nada que contar. Déjalos en un lugar tibio y seco dentro de la casa 24 horas y se abren solos. No los metas al horno: funciona, pero es un riesgo de calor y humo innecesario para un paso que resuelve la paciencia.

Paso 2 – Encuentra la base y apoya el cono

Toma el cono con el extremo del tallo hacia abajo. Mira directo hacia la punta o hacia la base plana, según dónde se vean filas más claras. Buscas líneas de escamas que barren alrededor del cono, no las escamas sueltas.

Paso 3 – Marca una espiral en rojo

Elige una escama cerca de la base. Busca la vecina que continúa la curva más suave hacia la derecha y márcala de rojo. Sigue dando la vuelta al cono, marcando mientras subes. Vas a subir en espiral hasta salirte por arriba. Esa línea de puntos rojos es una espiral de una familia.

Paso 4 – Cuenta cuántas espirales rojas hay

Vuelve a la base. Arranca una escama a la izquierda de tu primera escama roja y traza la siguiente espiral en el mismo sentido. Después la siguiente. Sigue hasta volver a la primera línea roja. La cantidad de espirales distintas que trazaste en ese sentido es tu primer número. Aquí es donde todo el mundo se pierde la cuenta: marca mientras avanzas y cuenta puntos en la base, no escamas en el aire.

Paso 5 – Haz el otro sentido en azul

Ahora traza la familia de espirales que se inclina al otro lado y cuéntalas. En la mayoría de los conos los dos números son distintos: 8 y 13 es el par más común en conos medianos, 5 y 8 en los chicos, 13 y 21 en los grandes.

Paso 6 – Anota los seis conos y después escribe Fibonacci

Haz una tabla: cono, tamaño, cuenta en un sentido, cuenta en el otro. Solo cuando ya estén los seis registrados, escribe la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, cada número la suma de los dos anteriores. Después comparen. El orden importa, porque un niño que ya sabe la respuesta la encuentra esté o no.

Paso 7 – Discutan el cono raro

Al menos uno va a dar algo como 9 y 14, o una cuenta que no se puede cerrar. No lo botes. Anótalo con una nota de por qué fue difícil. Este paso es el que convierte una demostración en datos.

Lo que deberías ver: cuatro o cinco de los seis conos van a dar dos números consecutivos de Fibonacci, casi siempre 8 y 13. Uno va a quedar ambiguo o corrido por uno, normalmente porque el cono está dañado, chueco o creció torcido. Contar una familia le toma a un niño de nueve años unos cuatro minutos con puntos marcados, y una eternidad sin ellos.

Qué está pasando en realidad

El patrón tiene nombre: filotaxis, la disposición de hojas, escamas o semillas alrededor de un tallo. Las espirales que contaste se llaman parastiquias, y sus cuentas son los números de parastiquia.

Este es el mecanismo, y es más simple y más raro que la historia habitual. En la punta en crecimiento de una planta, bultos nuevos llamados primordios se forman uno a uno sobre un anillo de tejido. Cada primordio nuevo aparece en el hueco más grande que dejaron los anteriores, porque los primordios existentes inhiben el crecimiento a su lado. Si repites esa única regla local, el ángulo entre primordios sucesivos converge a unos 137,5°, el ángulo de oro, que es 360° dividido por el cuadrado de la razón dorada. Las familias de espirales se vuelven visibles porque la planta sigue poniendo brotes a ese ángulo mientras el tallo crece hacia afuera, y la cantidad de espirales visibles resulta ser un par de números consecutivos de Fibonacci. La razón es un hecho sobre la razón dorada: sus mejores aproximaciones racionales son exactamente los cocientes de Fibonacci consecutivos.

Lo importante es que la planta no hace aritmética. No hay un gen que codifique “13”. Douady y Couder lo demostraron en 1992 con un modelo físico: gotas de fluido magnético cayendo sobre un plato de aceite de silicona, repeliéndose entre ellas y derivando hacia afuera. Sin biología de por medio, las gotas se acomodaron en filotaxis de Fibonacci. El patrón sale de la geometría de empacar cosas que se empujan, y por eso los mismos números aparecen en conos, girasoles, piñas y cactus. Mitchison presentó la matemática de esto en Science en 1977.

Dos afirmaciones populares hay que corregirlas. La primera es que este arreglo es la forma matemáticamente óptima de captar luz. Es un buen arreglo, y evitar traslapes importa, pero los números de Fibonacci salen de la regla local de inhibición, no de que la planta resuelva un problema de optimización. La segunda es que la filotaxis de Fibonacci es universal. No lo es. El estudio más grande sobre esto es un proyecto de ciencia ciudadana con girasoles publicado en Royal Society Open Science en 2016: de 768 cuentas confiables de espirales en cabezas de girasol, 565 fueron números de Fibonacci y otras 67 mostraron una estructura de Fibonacci relacionada y definida de antemano. Queda un resto real, incluidas cabezas donde no se pudo asignar ningún número. Tres de cada cuatro, más o menos. No es una ley de la naturaleza, y contarle la verdad a un niño es más interesante que darle una regla.

Cómo explicárselo a tu hijo

De 5 a 8 años: busca las filas que dan la vuelta

No digas Fibonacci. Di: “Este cono tiene filas secretas. ¿Puedes encontrar una?”. Ayúdalo a marcar una sola espiral con calcomanías y después pregúntale si puede encontrar otra que nunca toque a la primera. Cuenten las filas juntos, en voz alta, señalando. Si él saca 8 y tú sacas 8, ya ganaron. Después dale una piña y deja que descubra que ahí también dan la vuelta.

De 9 a 12 años: arma la sucesión y compruébala

Escribe 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y pídele que encuentre la regla antes de decirla tú. Cuando la tenga, vuelvan a la tabla. Haz la pregunta más filosa: ¿las dos cuentas de un mismo cono están una al lado de la otra en la sucesión, o se puede sacar 5 y 21? Va a revisar, y la respuesta es que casi siempre son vecinas. Eso es una afirmación mucho más precisa que “los conos son Fibonacci”, y se puede comprobar.

De 13 en adelante: el ángulo de oro y la regla de empaque

Presenta los 137,5° y pídele que los construya: marcar puntos sobre una espiral en papel, girando 137,5° cada vez y avanzando un poco hacia afuera. Después de veinte puntos aparecen familias de espirales en su propio dibujo. Luego plantea la investigación de verdad: repetir la construcción a 137,5°, 120°, 90° y 144° y contar las familias visibles en cada caso. Solo los ángulos cerca del de oro dan cuentas de Fibonacci y espaciado uniforme; los ángulos racionales como 120° dan radios obvios con huecos.

La pregunta que debes hacer: “Si una planta pusiera cada hoja nueva exactamente a media vuelta de la anterior, siempre, ¿cómo se vería la planta vista desde arriba? Dibújalo antes de contestar.”

Por qué enseñar esto temprano vale la pena

La filotaxis es uno de los pocos lugares donde un niño ve una estructura matemática en algo que recogió del suelo. Eso importa menos por la sucesión, que de todos modos va a conocer, y más por la idea de que una regla simple repetida puede generar orden complicado. Esa idea es la base de la recursión en programación, de la geometría fractal y de buena parte de la biología del desarrollo.

El beneficio concreto es una defensa contra un mal hábito. Los números de Fibonacci son el patrón más sobrevendido de la divulgación: se los atribuyen a huracanes, galaxias, bolsas de valores y al Partenón, casi siempre sin una medición detrás. Un niño que contó seis conos, encontró uno que no encajaba y lo anotó igual practicó lo que de verdad separa la ciencia de la caza de patrones. El Framework for K-12 Science Education llama a eso “analizar e interpretar datos”.

Smith, diSessa y Roschelle argumentaron que las ideas equivocadas de los niños son materia prima productiva y no errores que borrar, y esta actividad es un ejemplo limpio. “Todos los conos son Fibonacci” es un buen primer modelo. El cono que da 9 y 14 es lo que lo mejora. No lo tapes, y no prometas que una tarde con conos cambia el rendimiento escolar de nadie.

¿Y en América Latina?

Dónde conseguir conos, según dónde vivas. La geografía cambia todo y conviene saberlo antes de salir. En Chile las plantaciones de pino radiata están por todas partes desde Valparaíso al sur, y los conos sobran: es el país más fácil de la región para esto. En Argentina, los pinos de las sierras de Córdoba y de Bariloche dan conos grandes, de los de 13 y 21. En Colombia hay pino pátula en los cerros de Bogotá, en Antioquia y en el eje cafetero. En México, bosques de pino en Michoacán y Oaxaca.

Si vives en tierra caliente, no hay pinos: usa piña. En la costa colombiana, en Guayaquil o en el Caribe no vas a encontrar conos y no vale la pena insistir. La piña es mejor sustituto para una primera vez, porque los gajos hexagonales hacen las filas evidentes y suele dar 8 y 13. La alcachofa, en temporada en Chile y Perú, también sirve y es más barata.

Ojo con la araucaria. El piñón de araucaria o pehuén, en el sur de Chile y Argentina, es alimento tradicional mapuche y pewenche, y la araucaria es especie protegida. No arranques conos del árbol: recoge solo lo caído y respeta las zonas de recolección tradicional.

El gancho curricular. “Patrones y álgebra” en la básica chilena del Mineduc, el pensamiento variacional en los estándares colombianos y las sucesiones de la SEP mexicana cubren exactamente esto. Para un congreso escolar, comparar dos especies con diez conos de cada una tiene control, medición y tamaño de muestra.

Antes de empezar: lo que los papás deben saber

Mejor edad	7 en adelante. Contar es fácil desde los 5, pero seguir una espiral alrededor de algo curvo exige una planeación que suele llegar a los 7. Un niño de cinco marca una espiral y la pasa bien.
Supervisión	Baja, una vez secos los conos. Quédate cerca para la primera espiral contada, porque el método es toda la dificultad.
Riesgos reales	La resina de pino es pegajosa y no sale con agua; usa aceite de cocina y luego jabón. Las puntas de las escamas rasguñan. Revisa los conos por insectos antes de meterlos a la casa. Semillas y escamas chicas son riesgo de asfixia para menores de 3 años.
Espacio	Mesa con bandeja o periódico. Necesitas las dos manos libres y que el cono no ruede.
Punto de frustración	El paso 4, contar cuántas espirales tiene una familia. Ahí se cae la mayoría de los intentos. Los puntos marcados no son opcionales.
Ojo con esto	No seques los conos al horno para apurar, y no te quedes solo con el cono que dio una respuesta bonita. El cono descartado es el dato.

Cuando no funciona

• No se ven espirales. El cono sigue cerrado, o es una especie con pocas escamas muy grandes. Sécalo otro día o cámbialo por una piña, donde las filas son imposibles de perder.
• Las dos cuentas salen iguales. Trazaste la misma familia dos veces. Revisa la inclinación: las dos familias se inclinan en sentidos opuestos, y si tus dos líneas van para el mismo lado tienes una sola.
• La cuenta cambia cada vez. El cono está dañado o chueco, común en conos que cayeron temprano. Prueba otro y guarda el resultado del malo con una nota.
• Sale 9 y 14, u otro par que no es de Fibonacci. Pasa de verdad, y el estudio de girasoles de arriba muestra que pasa en la naturaleza a tasas medibles. Anótalo. Después revisa si el cono está deforme de un lado.

Para llevarlo más lejos

Prueba si el tamaño predice los números. Mide largo y diámetro de cada cono y grafica tamaño contra número de parastiquia. Los conos más grandes tienden a pares mayores, 13 y 21 en vez de 5 y 8. Con diez conos se ve la tendencia; con veinte se puede defender.

Compara especies, en serio. Junta conos de dos especies de pino y mantenlos en pilas separadas. Cuenta diez de cada una. ¿Difieren las especies en su par típico? Es una pregunta real con literatura detrás.

Construye la espiral en papel a distintos ángulos. Con transportador, pon 25 puntos girando un ángulo fijo cada vez y avanzando 2 mm hacia afuera. Hazlo a 137,5°, luego a 90° y a 120°. Cuenta las espirales visibles en cada dibujo: la del ángulo de oro parece un girasol, las otras parecen rayos de bicicleta.

Qué observar en los próximos 3 meses

• Semana 4: empieza a revisar otras cosas. Piñas, alcachofas, las escamas de un cactus. Déjalo contar mal y después pregúntale cómo se aseguraría.
• Mes 2: usa la palabra “patrón” con más cuidado, muchas veces como reto: “¿eso es un patrón de verdad o solo lo notaste?”.
• Mes 3: la pregunta que vale la pena es alguna versión de “¿y por qué ese ángulo?”. Puedes contestar con honestidad que nadie lo diseñó, y que el ángulo es lo que sale cuando cada brote nuevo va al hueco más grande.

Preguntas frecuentes

¿Qué conos funcionan mejor?

Conos abiertos, secos y sin daño, de tamaño mediano, entre 6 y 10 cm. Esos suelen dar 8 y 13, que es el resultado más claro. Los muy chicos dan 5 y 8 y son difíciles de marcar; los muy grandes dan 13 y 21 y toman más tiempo.

¿Hace falta que sean conos de pino?

No. La piña es mejor para un primer intento porque los gajos hexagonales hacen obvias las filas. Un girasol da números más grandes y es más difícil. La alcachofa funciona y es barata en temporada.

¿Por qué no todas las cuentas son números de Fibonacci?

Porque el patrón sale de un proceso de crecimiento alterable. Daño, crecimiento desigual, apiñamiento y diferencias de especie corren las cuentas. El estudio de girasoles de 2016 encontró que la mayoría eran Fibonacci pero una minoría real no.

¿La razón dorada está de verdad en el Partenón y en los rostros?

En general no. Esas afirmaciones salen de elegir qué líneas medir después de decidir qué respuesta se quiere. La filotaxis es distinta: el ángulo es una salida medible de un mecanismo reproducido en un experimento de física sin nada de biología.

¿Las plantas pueden contar?

No, y es la mejor respuesta de toda la actividad. Cada brote nuevo se forma en el hueco más grande porque los brotes existentes desalientan químicamente el crecimiento a su lado. Nada dentro de la planta representa el 13.

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Sobre el autor

Ricky Flores es el fundador de HiWave Makers e ingeniero eléctrico con más de 15 años de experiencia desarrollando tecnología de consumo en Apple, Samsung y Texas Instruments. Escribe sobre cómo los niños aprenden a construir, pensar y crear en un mundo saturado de tecnología. Lee más en hiwavemakers.com.

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Fuentes

1. Mitchison, G. J. (1977). “Phyllotaxis and the Fibonacci Series.” Science, 196(4287), 270–275. https://doi.org/10.1126/science.196.4287.270
2. Douady, S., & Couder, Y. (1992). “Phyllotaxis as a physical self-organized growth process.” Physical Review Letters, 68(13), 2098–2101. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.2098
3. Swinton, J., Ochu, E., & The MSI Turing’s Sunflower Consortium. (2016). “Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower: results of a citizen science experiment.” Royal Society Open Science, 3(5), 160091. https://doi.org/10.1098/rsos.160091
4. National Research Council. (2012). A Framework for K-12 Science Education. National Academies Press. https://doi.org/10.17226/13165
5. Smith, J. P., diSessa, A. A., & Roschelle, J. (1994). “Misconceptions Reconceived: A Constructivist Analysis of Knowledge in Transition.” Journal of the Learning Sciences, 3(2), 115–163. https://doi.org/10.1207/s15327809jls0302_1
6. NRICH, Universidad de Cambridge. “Tessellating Triangles” e investigaciones de geometría relacionadas. https://nrich.maths.org/problems/tessellating-triangles

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